绪论
概率论与数理统计 · 复旦大学经济学院
ECON130001 2026 秋季 江嘉骏
你已经带着什么来
「概率 $=$ 有利结果数 $\div$ 总结果数」，抛硬币、掷骰子、摸球。
微积分（积分——后半学期算连续型分布要用）、线性代数（矩阵——多维随机变量要用）。
「有利结果数 $\div$ 总结果数」只在所有结果等可能时成立。 那「明天下雨的概率是 70%」呢？这里的「总结果数」是多少？
为什么需要这门课
可塔尔塔利亚指出一个要命的反例：如果只打了一局就中断， 按这个规则赢的人拿走全部赌金——可他离 5 局还差 4 局。
来源
分赌本问题（problem of points）。帕乔利 1494 年《Summa de arithmetica》按已赢局数比例分配， 塔尔塔利亚在 16 世纪中叶指出其反例；1654 年帕斯卡与费马的通信给出了正确解法， 这场通信通常被视为概率论的起点。访问日期 2026-08-01。本讲学习目标
- 说清概率、统计、计量经济学三者各自在做什么
- 见识三个直觉会失灵的例子，明白为什么需要一套形式化的语言
- 知道这门课与你后面的金融、计量、AI 课程接在哪里
概率论的起源：1654 年的一封信
甲 4 胜 3 负，先赢 5 局者通吃。按已赢局数分 4:3？还是一人一半（谁都没赢满）？
要问的是：如果继续打下去，各自赢的可能性是多少？ 甲还需再赢 1 局，乙还需再赢 2 局——所以最多再打 2 局必分胜负。
这 2 局的结果只有四种，等可能： $$\text{甲甲}\quad \text{甲乙}\quad \text{乙甲}\quad \text{乙乙}$$ 前三种甲都赢了，只有「乙乙」乙才赢。
甲拿 $3/4$，乙拿 $1/4$。把「没发生的事」也列进样本空间，问题就解了。
最「简单」的难题：扔硬币
- 连扔两次，都是正面的可能性？
- 连扔三次，都是正面的可能性？
- 连扔三次，恰有两次正面的可能性？
- 连扔三次，只有一次正面的可能性？
连扔十次，恰有五次正面的可能性是多少？
前四问都能靠列举硬算，第五问一列就是 1024 种。 需要的不是耐心，是方法。
直觉失灵之一：同月同日生
这个教室里，至少有两个人生日相同的可能性有多大？
再猜一个：一个班要有多少人，这件事才有一半的机会发生？
「一年 365 天，总得有一两百人吧。」
23 人就超过 50%，50 人时高达 97%。
交互：生日悖论模拟器
把人数拖到全班实际人数，看概率；再点「模拟 2000 次」，看实际比例。
要比的不是人数和 365，是配对数和 365。 23 个人能配出 $\binom{23}{2}=253$ 对。
交互演示：拖动班级人数，看同天生日的概率如何上升
直觉失灵之二：换还是不换
- 三道门，一道后面是汽车，另两道是羊
- 你先选一道，不打开
- 主持人打开剩下两道中的一道，是羊
- 问：要不要把你选的门换成另一道没开的？
剩两道门，一车一羊，各 1/2——换不换都一样。
换。主持人知道车在哪，他的动作携带了信息。 换了之后中奖概率翻倍：从 1/3 变成 2/3。
交互：三门问题模拟器
先请一位同学上来手玩五局——多半看不出差别。再点「1 万局」。
「换」相当于赌自己第一次选错了， 而第一次选错的概率正是 $2/3$。
交互演示：手玩几局，再让机器模拟一万局对比换与不换
直觉失灵之三：布丰投针
一张纸上画满等距平行线，间距 $d$。随机扔一根长度 $L$（$L < d$）的针。
针与某条平行线相交的概率是多少？
- 这是个纯几何问题，为何与概率有关？
- 而且——答案里竟然出现了 $\pi$。
布丰投针：把几何与概率接起来
证明思路
设针中点到最近平行线的距离为 $x$、针与平行线的夹角为 $\theta$， 相交条件是 $x\le\frac{L}{2}\sin\theta$。在 $(\theta,x)$ 的矩形上算面积比即得。 完整推导要用到二重积分与几何概型，见第 2 讲与教师笔记。大量重复投针，统计相交频率 $f=\dfrac{\text{相交次数}}{\text{总次数}}$，反推 $$\pi\approx\frac{2L}{d\cdot f}$$ 这是蒙特卡洛方法的思想源头——用随机模拟去算一个确定的数。
- 几何概型：样本空间是几何图形时，用面积算概率——第 2 讲
- 大数定律：频率为什么会稳定到概率上——第 8 讲
交互：布丰投针
交互演示：连续投针，观察估计值向 π 收敛
交互：蒙特卡洛模拟 π
交互演示：正方形内随机撒点，用落入圆内的比例估算 π
小结：三个例子说明了什么
- 直觉不可靠。生日问题低估、三门问题误判、投针问题连方向都想不到。 而且错的不是外行——帕乔利、当时的数学家、后来质疑三门问题的博士们，都错过。
- 错的往往不是计算，是「问题到底在问什么」没界定清楚。 「有人和我同天生日」与「任意两人同天生日」是两件事； 「主持人随机开门」与「主持人知情开门」是两件事。
- 所以这门课的第一件事，是造一套不会有歧义的语言——这就是第 1 讲。
概率、统计、计量：三件不同的事
已知硬币是公平的，问扔十次出现五次正面的可能性。模型在手，推数据。
扔了十次出现九次正面，问这硬币还公平吗。数据在手，推模型。
并且要回答：这个关系是真的，还是碰巧？
接下来
到这里，你大概知道这门课在做什么了。
但还有一个问题没回答：这些十七世纪赌桌上的东西， 和你要学的金融、要用的 AI，到底有什么关系？
概率论在 AI 时代的「文艺复兴」
人工智能为什么算「智能」？
因为它的核心能力之一，是在充满不确定性的世界里做出决策和预测。
说概率论是现代人工智能的基石，并不夸张。
案例一：AI 如何识别垃圾邮件
- 学习：统计「中奖」「发票」这些词在正常邮件与垃圾邮件里各自出现的频率
- 推理：收到新邮件时，用贝叶斯公式算 $$P(\text{垃圾}\mid\text{出现「发票」})\ \ \text{vs}\ \ P(\text{正常}\mid\text{出现「发票」})$$
- 决策：哪个大就归哪类
看起来很现代的自动分类，底座是条件概率。
交互：垃圾邮件过滤器
交互演示：调整词频与先验，看分类器如何做判断
案例二：ChatGPT 如何「创作」
给定一段文字，预测下一个最可能出现的词。
模型算出的不是一个词，而是一个概率分布：
| 下一个词 | 概率 |
|---|---|
| 真美 | 0.30 |
| 格外 | 0.20 |
| 那么 | 0.15 |
| …… | …… |
然后从这个分布里采样一个词，再开始下一轮。
所谓「创作」，是一场基于随机变量及其概率分布的文字接龙。
概统与经济学：四条接口
用概率分布描述股价、利率的不确定性。 期望 $E[R]$ 定义收益，方差 $\mathrm{Var}(R)$ 定义风险。 第 7 讲
以大数定律为基石，靠风险汇聚让保险公司稳健经营。 第 8 讲
回归找关系，假设检验判断这关系是真的还是碰巧。 第 11–12 讲
信用评分算 $P(\text{违约})$；算法交易按概率信号下单； 智能投顾按风险偏好配组合。贯穿全课
这门课是理解现代经济金融分析的第一块基石—— 你后面每一门量化课程，都会回来用它。
关于考核
- 作业：课后练习，无需提交——但期末考的题型就长那样
- 小测：2 次，提前一周通知，每次占用半次课
| 小测 | 时间 | 范围 |
|---|---|---|
| 第一次 | 第 7 周（10.19） | 第 1–5 讲（第一、二章） |
| 第二次 | 第 12 周（11.23） | 第 6–8 讲（第三、四、五章） |
课程信息
- 时间：周一 3-4 节、周四 1-2 节
- 地点：HGX308
- 课件：课前放到 eLearning，方便预习与记笔记
- Office hour：课后或邮件预约，11 号楼 321-东
- 助教：陈思霖
- 江嘉骏 副教授
- 北京大学金融学博士、数学与应用数学学士
- 纽约大学 Stern 商学院访问学者
- 研究方向：行为金融、消费金融、金融科技
- Email: jiangjj@fudan.edu.cn
教材与参考书
吴传生 《概率论与数理统计》（第 4 版）
- 袁荫棠 《概率论与数理统计》（修订版）
- 朱弘鑫 《概率论与数理统计》
- DeGroot & Schervish Probability and Statistics, 4th ed.
教材按章跟课，参考书用来查不同讲法。 DeGroot 那本英文写得最清楚，想读研的建议翻。
顺便推荐两本闲书
课程安排（16 周 · 30 次课）
| 周 | 内容 | 教材 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1 | 绪论 · 随机事件与概率定义 | 第一章 | |
| 2 | 古典概型与几何概型 | 第一章 | |
| 3 | 条件概率与事件独立性 | 第一章 | |
| 4–5 | 离散型随机变量与分布函数 | 第二章 | 10.1、10.5 停课 |
| 6 | 连续型随机变量与密度函数 | 第二章 | |
| 7–9 | 多维随机变量及其分布 | 第三章 | 10.19 小测 1 |
| 9–10 | 随机变量的数字特征 | 第四章 | |
| 11 | 大数定律与中心极限定理 | 第五章 | |
| 12–13 | 样本及抽样分布 | 第六章 | 11.23 小测 2 |
| 13–15 | 参数估计 | 第七章 | |
| 15–16 | 假设检验 | 第八章 | |
| 16 | 复习与总结答疑 | — | 12.24 最后一次课 |
本讲总结
分赌本该怎么分？——不看已经赢了几局，看继续打下去会怎样。 把没发生的可能性一一列出来，再数一数，答案就出来了：$3:1$。
这个动作——把所有可能情况列成一个集合，再在上面计数—— 就是这门课全部内容的原型。
- 概率论：由模型推数据；统计学：由数据推模型。方向相反
- 直觉在概率问题上系统性地不可靠，而且错的常常不是计算，是问题没界定清楚
- 频率会稳定到概率上（布丰投针、蒙特卡洛）——这条要到第 8 讲才证
本讲总结（续）
- 金融：期望是收益，方差是风险，大数定律是保险的基石
- AI：贝叶斯公式做分类，概率分布做生成
- 计量：假设检验回答「这个关系是真的吗」
今天所有的例子都在问同一件事：某件事有多可能发生。
可我们连「某件事」到底指什么都还没说清楚—— 「至少有两人同月同日生」是一件事，还是很多件事？
下一讲：先把「事件」这个词定义清楚。