随机事件与概率定义
第1讲 概率论与数理统计
复旦大学经济学院 · 2025 秋季
上一讲我们看到了什么
绪论留下的印象
- 同月同日生、换门问题——直觉在概率面前经常失灵
- 布丰投针把 $\pi$ 和随机投掷连了起来
- 垃圾邮件识别、ChatGPT 生成下一个词，背后都是概率
绪论留下的问题
那几个例子都在算某件事「有多可能」。可我们连「某件事」到底指什么都还没说清楚—— 「至少有两人同月同日生」是一件事，还是很多件事？
不把这个说清楚，后面所有计算都无从谈起。
为什么需要这一讲
场景
2005 年 8 月，密西西比州帕斯卡古拉。Leonard 一家的房子离海不到两百米。
卡特里娜飓风正面登陆，狂风和风暴潮几乎同时砸过来。灾后清点，损失超过 13 万美元。
他们买了家庭财产险：保风灾，不保水灾。
冲突
他们和律师做了一件看起来完全合理的事：请人估出损失里「纯粹由风造成」的部分约 4.7 万美元，
只申请这一部分。一审法院也认可这个思路。
第五巡回上诉法院推翻了它。保单里有一句：即便另一风险同时或先后促成该损失， 本除外条款依然适用。按这句话，风和水共同造成的损害整体被排除。 最终实付 1661.17 美元。
第五巡回上诉法院推翻了它。保单里有一句：即便另一风险同时或先后促成该损失， 本除外条款依然适用。按这句话，风和水共同造成的损害整体被排除。 最终实付 1661.17 美元。
悬念
合同白纸黑字，两造都是专业人士，读出来的结论却差了两个数量级。
问题出在哪？「赔什么」这件事，能不能写成一种不依赖阅读理解的东西？
来源
Leonard v. Nationwide Mutual Insurance Co., 499 F.3d 419 (5th Cir. 2007)． caselaw.findlaw.com｜访问日期 2026-07-31本讲学习目标
- 把一句关于不确定性的话翻译成集合：样本空间、事件、必然与不可能
- 对事件做运算与化简：并、交、差、补、互斥、对立，以及 De Morgan 律
- 陈述概率的三条公理，并用由它推出的性质完成计算
为何学习随机事件的「数学语言」？
- 我们每天都在与不确定性打交道：
- 明天某支股票是涨是跌？
- 新推出的产品能否成为爆款？
- AI 模型给出的下一个词是什么？
概率论是什么
一套精确、无歧义地描述和分析不确定性的语言。
本讲目标
学习这门「语言」的语法规则——用集合论来描述随机事件及其关系。这是构建所有概率模型、
金融模型乃至 AI 算法的第一步。
随机事件
为了研究随机现象，要对客观事物进行观察，观察的过程称为试验。概率论研究的试验有以下特点：
- 在相同的条件下试验可以重复进行
- 每次试验的结果具有多种可能，且在试验之前可以明确所有可能结果
- 在每次试验之前不能准确预言该次试验将出现哪一种结果
试验的结果及其组合称为随机事件：
- 不能分解的最简单的随机事件称为基本事件
- 基本事件组合为复合事件
如何用数学语言描述随机事件？
样本空间
试验所有可能的结果（事件）的集合称为样本空间，记为 $\Omega$。
可以用集合论的语言描述随机事件：
- 集合中的每个元素 $\omega$ 构成的单点集 $\{\omega\}$ 就是基本事件
- 集合的任意子集是随机事件
- 样本空间全集 $\Omega$ 也是一个事件，称为必然事件
- 空集 $\varnothing$ 也是一个事件，称为不可能事件
思考：现代经济与 AI 中的样本空间
- 金融市场：某支股票明天可能的价格变化，$\Omega = \{\text{上涨, 下跌, 平盘}\}$
- 信用评估：评估一个贷款申请人，$\Omega = \{\text{违约, 不违约}\}$
- AI 自动驾驶：车辆在路口的下一个决策，$\Omega = \{\text{直行, 左转, 右转, 停车等待}\}$
样本空间与事件
例：掷骰子，样本空间如何表示？掷得偶数、掷得大于 2 的数字这两个事件如何表示？
样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
偶数事件 $A=\{2,4,6\}$ 大于 2 事件 $B=\{3,4,5,6\}$
例：连续掷两次骰子，样本空间如何表示？两次数字之和大于 6 这一事件如何表示？
样本空间 $\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots,(6,4),(6,5),(6,6)\}$
两次数字和大于 6 事件 $A=\{(1,6),(2,5),(2,6),\cdots,(6,4),(6,5),(6,6)\}$
思考：样本空间 $\Omega$ 和事件 $A$ 分别有多少个元素？
接下来
到这里，我们已经能把单个事件写清楚了。
但现实里的问题从来不是单个事件。「信用分低且会违约」「至少有一家银行出问题」 「不触发任何一条排除条款」——这些都是把几个事件组合起来的说法。
接下来八页，我们给这些「组合」一套精确的运算规则。
事件间的关系及运算
事件的包含
- 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 是事件 B 的子事件，记为 $A\subset B$
- $A\subset B\iff \forall\omega\in A,\ \omega\in B$
- $\forall A,\ \varnothing\subset A\subset \Omega$
例：掷一次骰子，事件 A 为得到偶数，事件 B 为得到大于 1 的数字
$A=\{2,4,6\},\ B=\{2,3,4,5,6\}$，因此事件 B 包含事件 A，即 $A\subset B$。
事件间的关系及运算
事件的相等
- 如果事件 A 包含事件 B，事件 B 也包含事件 A，则称事件 A 与 B 相等，记为 $A=B$
- $A = B\iff A\subset B \text{ 且 } B\subset A$
- 事件 A 和 B 中的元素完全相同
这条定义有什么用
双向包含是本讲证明所有等式的标准手法——包括马上要见到的 De Morgan 律。
要证两个事件相等，就证互相包含。
事件间的关系及运算
和事件（事件的并）
- 两个事件 A、B 中至少有一个发生，即「A 或 B」，称为 A 与 B 的和事件，记为 $A\cup B$ 或 $A+B$
- $A\cup B=\{\omega\,|\,\omega\in A\text{ 或 }\omega\in B\}$
- 交换律 $A\cup B=B\cup A$
- 结合律 $A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
- 如果 $A\subset B$，则 $A\cup B=B$
- $A\cup \varnothing=A$，$A\cup \Omega=\Omega$
- *可列并：可列个事件 $A_1, A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 的和也是一个事件，表示所有事件中至少有一件发生， 记为 $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$
事件间的关系及运算
积事件（事件的交）
- 事件 A 和 B 同时发生，即「A 且 B」，称为 A 与 B 的积事件，记为 $A\cap B$ 或 $AB$
- $A\cap B=\{\omega\,|\,\omega\in A\text{ 且 }\omega\in B\}$
- 交换律 $A\cap B=B\cap A$ 结合律 $A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$
- 如果 $A\subset B$，则 $A\cap B=A$ $A\cap\varnothing=\varnothing$，$A\cap \Omega=A$
- *可列交：可列个事件 $A_1, A_2,\cdots,A_n,\cdots$ 的交也是一个事件，表示所有事件都发生， 记为 $\bigcap_{i=1}^\infty A_i$
分配律
$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$
$$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$
证明思路
双向包含：任取 $\omega$ 属于左边，推出它属于右边；再反过来。事件间的关系及运算
事件的差
- 事件 A 发生而事件 B 不发生，称为事件 A 与 B 的差事件，记为 $A-B$
- $A -B=\{\omega\,|\,\omega\in A\text{ 且 }\omega\notin B\}$
例：掷一次骰子，事件 A 为得到偶数，事件 B 为得到大于 3 的数字
$A=\{2,4,6\},\ B=\{4,5,6\}$，故 $A-B=\{2\}$。
事件间的关系及运算
互斥事件
- 如果事件 A 和事件 B 不可能同时发生，即 $A\cap B=\varnothing$，则称 A 和 B 是互斥事件， 或称互不相容
- 如果事件 $A_1,\cdots,A_n$ 两两互不相容，且 $A_1+\cdots+A_n=\Omega$，则称 $A_1,\cdots,A_n$ 构成样本空间的 完备事件组
例：掷一次骰子，事件 A 为得到偶数，事件 B 为得到奇数
$A\cap B=\varnothing$，因此 A 和 B 是互斥事件。又因为 $A\cup B=\Omega$，故 $A,B$ 构成一个完备事件组。
这个概念后面要用
完备事件组眼下只是个名词。本讲后面的两个案例——银行贷款的五级分类、
分类器的混淆矩阵——用的都是它。
事件间的关系及运算
对立事件（逆事件）
- 事件 A 的对立事件是样本空间中所有不属于 A 的结果组成的集合，记为 $\overline{A}$
- $\overline{A}=\{\omega\,|\,\omega\in \Omega,\ \omega\notin A\}=\Omega-A$
- $\overline{\overline{A}}=A$，$\overline{\varnothing}=\Omega$，$\overline{\Omega}=\varnothing$
- $A\cap\overline{A}=\varnothing$，$A\cup\overline{A}=\Omega$
- $A-B=A\cap\overline{B}$
- $A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})$
例：掷一次骰子，事件 A 为得到偶数
$A=\{2,4,6\},\ \overline{A}=\{1,3,5\}$，显然 A 的对立事件为掷得奇数。
事件间的关系及运算
De Morgan 律（对偶律）
$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\qquad\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$
用文字读：「并非至少一个发生」＝「每一个都不发生」； 「并非全都发生」＝「至少一个不发生」。
证明思路
元素法：$\omega\in\overline{A\cup B}\iff\omega\notin A\cup B\iff\omega\notin A$ 且 $\omega\notin B \iff\omega\in\overline{A}\cap\overline{B}$。每一步都是等价变形，反向自动成立。
例：掷一次骰子，事件 A 为 $\{1,2,3\}$，事件 B 为 $\{2,3,4\}$
$A\cup B=\{1,2,3,4\}$，因此 $\overline{A\cup B}=\{5,6\}$。
而 $\overline{A}=\{4,5,6\},\ \overline{B}=\{1,5,6\}$，所以 $\overline{A}\cap\overline{B}=\{5,6\}$。验证了对偶律。
而 $\overline{A}=\{4,5,6\},\ \overline{B}=\{1,5,6\}$，所以 $\overline{A}\cap\overline{B}=\{5,6\}$。验证了对偶律。
交互：事件运算演示器
看什么
依次点「并」「交」「差」「补」，观察阴影区域如何变化。
重点
切到两个 De Morgan 按钮，看刚才表决的那两块阴影是否完全重合。
交互演示：点选运算，观察韦恩图阴影区域如何变化，并验证 De Morgan 律
小结
- 事件就是集合，事件运算就是集合运算。翻译对了，问题就一半解决了
- 互斥 = 交为空；对立 = 互斥且并为全集。对立比互斥强
- 差可以化成交：$A-B=A\cap\overline{B}$
- De Morgan 律让「至少一个」和「并非全都」互相转换——正面难算时就翻到反面
事件运算的应用：金融风险管理
场景：银行的信用卡审批
定义两个基本事件：$A$ = 申请人的信用评分低于 650 分；$B$ = 该申请人在未来一年内发生违约。
风险经理如何运用事件运算？
- $A \cap B$（积事件）：「信用分低且未来发生了违约」——银行最需要识别和避免的核心风险
- $\overline{B}$（对立事件）：「未来一年内没有违约」——银行期望的结果，利润的来源
- $B - A$（差事件）：「发生了违约，但信用分并不低」——评分模型的「漏判」，需要优化的地方
回到开场那份保单
开场的 Leonard 案，用今天的记号可以一句话说清：保单承保的不是「风灾」$W$， 而是「风灾且非水灾」$W\cap\overline{F}$。
$W$ 与 $W\cap\overline{F}$ 的差别，就是 13 万美元与 1661 美元的差别。
应用：完备事件组不是编的，是法定的
背景
《商业银行金融资产风险分类办法》规定，商业银行必须把全部贷款划分为正常、关注、次级、可疑、损失
五类，后三类合称不良贷款。每笔贷款必须且只能落入一类——这正是完备事件组的定义。
| 类别 | $A_1$ 正常 | $A_2$ 关注 | $A_3$ 次级 | $A_4$ 可疑 | $A_5$ 损失 |
|---|---|---|---|---|---|
| 余额（万亿元） | 225.14 | 5.11 | 1.14 | 0.81 | 1.55 |
当堂算一算
设 $B=A_3\cup A_4\cup A_5$（不良），$C=A_1\cup A_2$（正常）。
- $\Omega$ 总额 $=225.14+5.11+1.14+0.81+1.55=233.75$ 万亿元
- 由有限可加性：$P(B)=\dfrac{1.14+0.81+1.55}{233.75}=\dfrac{3.50}{233.75}\approx 1.50\%$ ——与官方公布的不良贷款率完全吻合
- 由对立事件：$P(C)=1-P(B)=98.50\%$，与直接相加 $\dfrac{230.25}{233.75}$ 一致
来源
国家金融监督管理总局《2025年四季度银行业保险业主要监管指标数据情况》（2026-02-12）及其附件 《2025年商业银行主要监管指标情况表》｜访问日期 2026-07-30。五类分项余额取自附件精确表。应用：分类器的四格表也是完备事件组
背景
绪论提过 AI 能自动识别垃圾邮件。1998 年微软研究院与斯坦福的一篇论文最早系统做了这件事：
用某用户一年积累的邮件训练分类器，再对他随后一周收到的 222 封邮件逐封判定。
| 判为垃圾 | 判为正常 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 实际是垃圾 | 36 | 9 | 45 |
| 实际是正常 | 3 | 174 | 177 |
| 合计 | 39 | 183 | 222 |
先确认它是完备事件组
一封邮件只能落进一格 → 四格两两互斥；
$36+9+3+174=222$ → 四格并起来是全体。
两条都满足，这就是一个完备事件组。
来源
Sahami, Dumais, Heckerman & Horvitz, A Bayesian Approach to Filtering Junk E-Mail, AAAI Workshop on Learning for Text Categorization, 1998, Table 3． cdn.aaai.org｜访问日期 2026-07-31当堂算一算：三条性质各用一次
① 判断正确 —— 有限可加性
「实际垃圾且判为垃圾」与「实际正常且判为正常」互斥，直接相加：
$$P=\frac{36+174}{222}=\frac{210}{222}\approx 94.6\%$$
② 判断错误 —— 对立事件，两法互验
$\dfrac{9+3}{222}\approx5.4\%$；而 $1-94.6\%=5.4\%$。两法一致。
③ 「判为垃圾或本身是垃圾」—— 广义加法公式
两者不互斥，交集是那 36 封：
$$\frac{39}{222}+\frac{45}{222}-\frac{36}{222}=\frac{48}{222}\approx21.6\%$$
直接数也是 $36+9+3=48$ 封，对上了。
两个此刻还算不出来的数
论文说它「拦下了 80% 的垃圾邮件」，算式是 $36/45$——问的是在实际是垃圾的邮件里拦下多少；
另一个常用指标 $36/39$ 问的是在被判为垃圾的邮件里有多少真是垃圾。
带「在……里」的限定，就是条件概率，本讲算不出来。第3讲见。
事件间的关系及运算
例：从一批产品中每次取出一个进行检验（不放回），事件 $A_i$ 表示第 $i$ 次取到合格品 $(i=1,2,3)$。用事件符号表示：
- 三次都取到了合格品
- 三次中至少一次取到合格品
- 三次中恰有两次取到合格品
- 三次中最多有一次取到合格品
提示
第二问和第四问，先想它们的对立事件是什么，往往比正面枚举短得多。
事件间的关系及运算
例：射手连续向某目标射击三次，事件 $A_i$ 表示第 $i$ 次射中目标 $(i=1,2,3)$。用文字叙述下列事件：
- $A_1+A_2$
- $A_1A_2A_3$
- $A_3-A_2$
- $\overline{A_1+A_2}$
- $\overline{A_1}+\overline{A_2}$
- $A_1A_2+A_1A_3+A_2A_3$
注意第 4 个和第 5 个
$\overline{A_1+A_2}$ 与 $\overline{A_1}+\overline{A_2}$ 长得很像，但不是同一个事件。
下一页用交互器亲手验证。
交互：事件表达式练习器
怎么用
用 $A_1,A_2,A_3$ 与运算按钮拼出表达式，点「检查」。判定用真值表，任何等价写法都算对。
重点做第 8、9 题
「两个都没射中」$\overline{A_1\cup A_2}$ 与「至少一个没射中」$\overline{A_1}\cup\overline{A_2}$
——故意让你撞上这个差别。
交互演示：把中文描述拼成事件运算表达式，即时判对错（10 题，含 De Morgan 陷阱）
事件间的关系及运算
例：血型与抗体
人有四种血型 A、B、O 和 AB 型。血液中有两种抗体，抗体 A 只与 A 型和 AB 型发生反应，
抗体 B 只与 B 型和 AB 型发生反应。现抽血样并放入抗体 A、抗体 B。定义事件 $A$ 为血样与抗体 A 发生反应，
事件 $B$ 为血样与抗体 B 发生反应。请用 $A$、$B$ 及其运算表示不同血型。
- A 型：$A\overline{B}$
- B 型：$\overline{A}B$
- O 型：$\overline{A}\cap\overline{B}$
- AB 型：$AB$
回头看
这四个事件两两互斥、并集为 $\Omega$——又一个完备事件组。
而 O 型的 $\overline{A}\cap\overline{B}$ 就是 $\overline{A\cup B}$，De Morgan 律在这里自然出现。
接下来
到这里，事件已经能被精确地写下来、算清楚了。开场那个问题回答了一半。
但只回答了一半。我们能写出「信用分低且违约」这个事件，却还不能说它有多可能发生。 而风控经理要签字的，恰恰是那个数。
「可能性」到底能不能被合法地赋成一个数？这就是概率的公理化定义要回答的。
概率的定义
概率的公理化定义（Kolmogorov, 1933）
设 $\Omega$ 是样本空间，$P$ 是定义在事件集上的实值函数，如果 $P$ 满足下面的条件：
- 非负性：对任意事件 A，$P(A)\geq0$
- 完全性（规范性）：$P(\Omega)=1$
- 可列可加性：对于两两互斥的事件 $A_1,A_2,\cdots$ $$P\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j)$$
为何需要严格的公理？
这三条公理是整个概率论大厦的基石，确保了所有概率计算和推理的逻辑自洽性。
注意公理没有说概率是「频率的极限」或「主观信念」——它只规定了要满足什么。 怎么算，是后面几讲的事。
注意公理没有说概率是「频率的极限」或「主观信念」——它只规定了要满足什么。 怎么算，是后面几讲的事。
概率的一些性质
由三条公理推出的六条性质
- $P(\varnothing)=0$
- 有限可加性：有限个两两互斥的事件 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ $$P\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\right)=\sum_{j=1}^n P(A_j)$$
- 单调性：如果 $A\subset B$，则 $P(A)\leq P(B)$，且 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
- $P(\overline{A})=1-P(A)$
- 对任意事件 A，$0\leq P(A)\leq1$
- 广义加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
证明思路
六条全部只用三条公理推出，不需要额外假设。例如有限可加性，是在可列可加性里补上 $A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots=\varnothing$ 得到的。
思考：把广义加法公式推广到三个事件？
$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$
概率的一些性质
例：一个选课的学生，可能是男生或女生。如果男生选课概率为 0.3，女生选课的概率是多少？
设男生选课为 A，女生选课为 B，样本空间为 $A\cup B$。
$P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)$。由于 A、B 为互斥事件，$P(A\cap B)=0$，故 $P(B)=1-P(A)=0.7$。
$P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B)$。由于 A、B 为互斥事件，$P(A\cap B)=0$，故 $P(B)=1-P(A)=0.7$。
例：考虑两个事件 A、B，$P(A)=1/3,\ P(B)=1/2$，在以下情况下计算 $P(B\cap\overline{A})$：1) A、B 互斥；2) $A\subset B$；3) $P(A\cap B)=1/8$
1) $1/2$ 2) $1/6$ 3) $3/8$
概率的一些性质
例：考虑两个事件 A、B，$P(A)=0.4,\ P(B)=0.7$。计算 $P(A\cap B)$ 可能的最大值和最小值，以及在什么情况下可以达到？
$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1.1-P(A\cup B)$
因为 $B\subset A\cup B$，故 $0.7\leq P(A\cup B)\leq1$。
$P(A\cap B)$ 最大值为 $0.4$，当 $A\subset B$ 时达到。
$P(A\cap B)$ 最小值为 $0.1$，当 $A\cup B=\Omega$ 时达到。
这题为什么重要
只给边际概率，交集就不是唯一确定的，只能给出区间。
要确定它，还需要新的信息，而这是第3讲条件概率要解决的。
本讲总结
① 回到开场那个问题
合同争议的根子，是「保什么」这句话从头到尾没有被写成一个确定的集合。 一旦写成集合，歧义就没有了：
$$\text{可赔付} = W\cap\overline{F}$$风灾 $W$、水灾 $F$，两个事件一确定，$W\cap\overline{F}$ 就是唯一确定的一个集合， 不再取决于谁怎么读那句中文。争的从来不是事实，是记号。
这就是本讲做的全部事情：把话变成集合，把歧义变成运算。
本讲总结（续）
② 核心结论
- 事件即集合；$A-B=A\cap\overline{B}$；De Morgan 律 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$
- 三条公理：非负性、$P(\Omega)=1$、可列可加性
- $P(\overline{A})=1-P(A)$；$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$；$A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$
③ 易错提醒
- 互斥 ≠ 独立。互斥关于集合，独立关于概率（第3讲）
- $\overline{A\cup B}\ne\overline{A}\cup\overline{B}$，取补不能逐项分配
- 不互斥不能直接相加，必须减交集
④ 下一讲
三条公理规定了概率要满足什么约束，却没说 基本事件的概率从哪来——而这些数一旦定下，公理就唯一决定了其余一切。
下一讲：当所有结果等可能时，它可以直接数出来。