连续型随机变量与概率密度函数
第 5 讲 · 概率论与数理统计
复旦大学经济学院 ECON130001
上一讲我们做了什么
$X:\Omega\to\mathbb{R}$ 是一个函数；离散型用概率函数 $f(x)=P(X=x)$ 描述，四个基本分布：伯努利 → 几何 → 二项 → 泊松。
$F(x)=P(X\le x)$；离散型的 $F$ 是阶梯函数，$P(X=x)=F(x)-F(x^-)$ 是该点的跳跃高度。
上一讲最后那个例子 $F(x)=\frac{x-4}{6}$ 是一条连续上升的折线，没有台阶，于是每一点的 $P(X=x)$ 都是 0，概率函数无法描述这个分布。
但折线的斜率还在：斜率越大的地方，概率越密集。这个「斜率」该怎么用？
为什么需要这一讲
模型的计算基于历史数据与分布假设。这个案例提示：用正态分布描述收益率，可能低估极端亏损的概率。
来源与说明
LTCM 于 1998 年 8–9 月间发生巨额亏损、并由纽约联储组织救助，为金融史公认事实；合伙人包括 1997 年诺贝尔经济学奖得主 Robert Merton 与 Myron Scholes。本页引用的具体日损金额与「模型预测频率」为教学化表述，用于说明正态尾部假设的脆弱性，不作为精确史料。本讲末尾会用本讲公式给出可自行验算的量级对照。本讲学习目标
- 会用概率密度函数描述连续型随机变量，并与分布函数互相转换
- 掌握三个连续分布：均匀、指数、正态，尤其是正态的标准化
- 会求随机变量函数的分布——离散型用求和，连续型用「先求 $F$ 再求导」
从「计数」到「测量」
在 $[4,10]$ 上任意抛一个质点，$X$ 为它与原点的距离，落在任一子区间的概率与区间长度成正比。 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<4\\[2pt]\dfrac{x-4}{6},& 4\le x<10\\[4pt]1,& x\ge10\end{cases}$$
- 股票的日收益率
- 下一季度的 GDP 增长率
- 自动驾驶汽车与前车的距离
对连续型随机变量，任何单点的概率都是 0（上一讲第 27 页）：$P(\text{收益率}=1\%)=0$。
所以 $P(X=x)$ 恒为 0，无法描述分布，需要另一种工具。
概率密度函数
若存在非负函数 $f$，使随机变量 $X$ 的分布函数对一切 $x$ 都可以写成 $$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$$ 则称 $X$ 为连续型随机变量，$f$ 为 $X$ 的概率密度函数（简称密度），记作 $X\sim f(x)$。
$f(x)$ 本身不是 $X$ 取 $x$ 的概率——它甚至可以大于 1。有意义的是它在一段区间上的积分。
类比：密度 $\mathrm{kg/m^3}$ 不是质量，乘上体积才是质量。在很短的区间 $[x,x+\Delta x]$ 上，概率约为 $f(x)\Delta x$：概率分布在区间上，不集中在单个点上。
回到上一讲的问题：$F$ 的斜率就是 $f$。斜率越大的地方，同样宽的区间里概率越大。
密度函数的四条性质
- $f(x)\ge0$ ← 非负性
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1$ ← 归一化
- $\displaystyle P(x_1<X\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,\mathrm{d}t$
- 在 $f$ 的所有连续点上，$F'(x)=f(x)$
证明思路
第三条：由 $F(x_2)-F(x_1)=\int_{-\infty}^{x_2}f-\int_{-\infty}^{x_1}f$ 与上一讲的 $P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$ 得到。第四条是微积分基本定理。因为 $P(X=x)=0$，区间端点开闭无关紧要： $P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=\int_a^b f$。离散型里一般不成立：端点若是取值点，少算它就少了该点的概率。
连续分布之一：均匀分布
若 $X$ 的密度为 $f(x)=c$（$a\le x\le b$），其余为 0，则称 $X$ 服从 $[a,b]$ 上的均匀分布，记作 $X\sim U[a,b]$。求 $c$ 与 $F(x)$。
由归一化 $c(b-a)=1$，得 $c=\dfrac{1}{b-a}$。积分得 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<a\\[2pt]\dfrac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\[4pt]1,& x\ge b\end{cases}$$
上一讲第 32 页的质点题就是 $a=4$、$b=10$ 的情形。
注意 $c=\frac{1}{b-a}$：区间越短，密度越高。$[0,0.1]$ 上的均匀分布密度是 $10$——密度可以大于 1。
均匀分布：神经网络参数初始化
若只知道一个量的取值范围，没有理由认为某些位置更可能，就用均匀分布：长度相同的子区间，概率相同。
- 训练深度模型前，成千上万个参数都要赋初值。太大或太小都会使训练难以进行
- 常用做法之一：在按网络结构算出的对称区间 $[-a,a]$ 内均匀抽样 $$W\sim U[-a,a]$$
- Xavier 均匀初始化是一种采用上述抽样方式的参数初始化方法
许多神经网络的训练，第一步就是从这样的均匀分布中抽取参数初值。
用归一化定常数（连续版）
$X$ 的密度为 $f(x)=kx+1$（$0\le x\le2$），其余为 0。求 $k$、$F(x)$ 及 $P(1.5<X<2.5)$。
归一化：$\int_0^2(kx+1)\mathrm{d}x=2k+2=1$，得 $k=-\tfrac12$。 $$F(x)=-\tfrac14x^2+x,\quad 0\le x\le2$$ $$\begin{aligned}P(1.5<X<2.5)&=F(2)-F(1.5)\\ &=1-0.9375=0.0625\end{aligned}$$
注意：$X$ 最大只到 2，所以 $F(2.5)=F(2)=1$。超出取值范围的部分密度为 0，积分不再增加。
$f(x)=cxe^{-x^2/2}$（$x>0$），其余为 0。求 $c$。
换元 $u=x^2/2$： $$\begin{aligned}\int_0^{\infty}cxe^{-x^2/2}\mathrm{d}x&=c\int_0^{\infty}e^{-u}\mathrm{d}u\\ &=c=1\end{aligned}$$ 故 $c=1$。
这个分布叫瑞利分布，常用来描述风速、信号幅度这类非负的量。
反过来：由分布函数求密度
$F(x)=e^{x-3}$（$x\le3$），$F(x)=1$（$x>3$）。求密度函数。
对 $F$ 求导： $$f(x)=\begin{cases}e^{x-3},& x\le3\\ 0,& x>3\end{cases}$$ 由分布函数求导得到密度；本讲后半求随机变量函数的分布，用的也是这一步。
$F(x)=0$（$x<0$）、$a+b\cos x$（$0\le x<\pi/4$）、$1$（$x\ge\pi/4$）。求 $a+b$。
连续型的分布函数是连续函数（没有跳跃），所以在 $x=0$ 处 $$\lim_{x\to0^-}F(x)=0=a+b\cos0=a+b$$ 故 $a+b=0$。
这道题考的不是计算，是「连续型 $\Rightarrow$ $F$ 连续」这条性质。
一道综合题
$X$ 的密度为 $f(x)=A\cos x$（$|x|\le\pi/2$），其余为 0。求 (1) $A$；(2) 分布函数；(3) $P(0<X<\pi/4)$。
(1) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}A\cos x\,\mathrm{d}x=2A=1\Rightarrow A=\tfrac12$。
(2) 对 $|x|\le\pi/2$： $\displaystyle F(x)=\int_{-\pi/2}^{x}\tfrac12\cos t\,\mathrm{d}t=\frac{1+\sin x}{2}$，于是 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<-\tfrac{\pi}{2}\\[2pt]\dfrac{1+\sin x}{2},& |x|\le\tfrac{\pi}{2}\\[4pt]1,& x>\tfrac{\pi}{2}\end{cases}$$
(3) $F(\tfrac{\pi}{4})-F(0)=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt2}{4}\approx0.354$。
核查 $F$：$F(-\pi/2)=0$、$F(\pi/2)=1$、处处不减且连续。求得连续型随机变量的分布函数后，应逐项检查这些性质。
一个既不离散也不连续的例子
$X$ 服从 $[0,5]$ 上的均匀分布，定义 $$Y=\begin{cases}0,& X\le1\\ 5,& X\ge3\\ X,&\text{其他}\end{cases}$$ 画出 $Y$ 的分布函数。
$P(Y=0)=P(X\le1)=\tfrac15$，$P(Y=5)=P(X\ge3)=\tfrac25$——这两点上有跳跃；而在 $(1,3)$ 上 $Y=X$，$F$ 连续上升。
所以 $F_Y$ 是「两级台阶 + 中间一段斜坡」。
它既不离散也不连续，没有概率函数，也没有密度，只能用分布函数描述——分布函数对任何随机变量都有定义。
小结：连续型的三件事
- 密度不是概率，$f(x)$ 可以大于 1；概率是它在区间上的积分
- $F$ 与 $f$ 互为积分/求导：$F(x)=\int_{-\infty}^x f$，$f=F'$
- $P(X=x)=0$，于是区间端点开闭不影响概率——这一点只对连续型成立
三个常用的连续分布：均匀（已讲）、指数、正态。
连续分布之二：指数分布
若 $X$ 的密度如下（$\lambda>0$），则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布： $$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,&\text{其他}\end{cases}$$
- $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x>0$）
- $P(a<X<b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$（$0\le a<b$）
特别地，当 $t\ge0$ 时，$P(X>t)=1-F(t)=e^{-\lambda t}$，即 $X$ 大于 $t$ 的概率。
$\lambda$ 叫速率：$\lambda$ 越大，密度衰减越快，$P(X>t)$ 越小。第 18 页将介绍泊松过程，并说明这一参数与事件发生速率的关系。
指数分布的无记忆性
电子元件寿命服从参数 $\lambda$ 的指数分布。求 (1) 寿命大于 $t$ 的概率；(2) 已工作了 $s$ 小时后，再工作 $t$ 小时以上的概率。
(1) $\displaystyle P(X>t)=\int_t^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=e^{-\lambda t}$
(2) 用条件概率： $$P(X>t+s\mid X>s)=\frac{P(X>t+s)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$$
已经工作了 $s$ 小时的元件，剩余寿命超过 $t$ 的概率与新元件相同——元件「不会老化」。
这是上一讲几何分布无记忆性的连续版本。而且可以证明：指数分布是唯一具有这个性质的连续分布。
指数分布例题：$n$ 个灯泡
$n$ 个灯泡同时点亮，寿命相互独立且都服从参数 $\lambda$ 的指数分布。求 (1) 到第一个灯泡失效的时间 $Y_1$ 的分布； (2) 从第一个失效到第二个失效的时间 $Y_2$ 的分布。
$Y_1>t$ 意味着所有 $n$ 个灯泡都还没有失效。由独立性 $$P(Y_1>t)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i>t)=\left(e^{-\lambda t}\right)^n=e^{-n\lambda t}$$ 所以 $Y_1$ 服从参数为 $n\lambda$ 的指数分布：参数是单个灯泡的 $n$ 倍。
第一个失效后还剩 $n-1$ 个，而由无记忆性，这 $n-1$ 个「和新的一样」。于是同理，$Y_2$ 服从参数 $(n-1)\lambda$ 的指数分布。
没有无记忆性，第 (2) 问就不能这样简化。
泊松过程：事件次数与等待时间
在速率为 $\lambda$ 的泊松过程中，事件以恒定平均速率随机到达，不相交时间区间内的发生次数相互独立。
- 固定时长 $t$ 内的事件次数 $N(t)$：服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布（离散型）
- 到下一次事件的等待时间 $T$：服从参数为 $\lambda$ 的指数分布（连续型）
例如，可用泊松过程描述服务器请求的随机到达。
从观察起点到下一次事件的等待时间记为 $T$。对 $t\ge0$： $$\{T>t\}=\{N(t)=0\}$$ 即「等待时间超过 $t$」等价于「$t$ 内没有事件发生」。由 $P(N(t)=k)=\dfrac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}$，取 $k=0$： $$P(T>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}\ \Longrightarrow\ F_T(t)=1-e^{-\lambda t}$$ 因此，$T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。
指数分布：失业持续期与服务器排队
- 若失业者在很短的时间 $\Delta t$ 内找到工作的概率约为 $\lambda\Delta t$，且 $\lambda$ 不随失业时长变化，则所需时间 $T$ 服从指数分布
- 无记忆性的含义：$P(T>t+s\mid T>t)=P(T>s)$——已失业 $t$ 个月的人，再过 $s$ 个月仍未找到工作的概率，与刚失业的人相同
- 用户请求到达服务器的间隔时间常被建模为指数分布
- 这是排队论的基础，用于服务器动态扩容与云端任务调度
- 在泊松到达模型下，固定时段内的请求数服从泊松分布，请求间隔服从指数分布
无记忆性意味着失业时长不影响再就业难度。现实中往往相反：技能折旧、雇主对长期失业者的筛选，都会让 $\lambda$ 随时间下降。用指数分布描述失业时长，等于假定 $\lambda$ 不随时间变化；实际研究要先检验这一点。
连续分布之三：正态分布
- 若总体服从正态分布，由样本算出的许多量（如样本平均值）的分布都有简单的表达式
- 大量实际观测（测量误差、生物性状等）确实近似服从正态分布
- 中心极限定理（第 8 讲）：大量独立随机因素之和近似服从正态分布，即使每个因素本身不服从正态
第 3 条是它被广泛使用的主要原因：测量误差这类量，往往是许多微小、独立的因素叠加的结果。
正态分布的定义
若 $X$ 的密度如下（$\sigma>0$），则称 $X$ 服从参数为 $\mu$、$\sigma^2$ 的正态分布，记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$： $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\left[-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]$$
怎么证明它的积分是 1
记 $I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}\mathrm{d}t$，考虑 $I^2$ 化为二重积分后换成极坐标： $$I^2=\iint e^{-(u^2+v^2)/2}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v =\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\infty}e^{-r^2/2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=2\pi$$ 故 $I=\sqrt{2\pi}$，归一化成立。这个积分称为泊松积分（与上一讲的泊松分布以同一位数学家命名，但不是一回事）：$e^{-t^2/2}$ 没有初等原函数，一维无法直接积出，化为二重积分后用极坐标即可算出。指数里是 $-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2$： $\mu$ 决定中心位置，$\sigma$ 决定曲线的宽窄。前面的 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ 只是为了让总面积等于 1。
正态分布的形状
- 关于 $x=\mu$ 对称
- 在 $x=\mu$ 处取最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
- 拐点位于 $x=\mu\pm\sigma$：任一拐点到中心 $\mu$ 的水平距离等于 $\sigma$
- 远离中心 $\mu$ 时，密度趋于 0
密度曲线两端远离 $\mu$ 的区域称为尾部。若阈值为 $a=\mu+2\sigma$，则 $P(X>a)$ 等于 $a$ 右侧曲线下的面积，表示超过该阈值的概率。
标准化：把所有正态分布变成一个
若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且 $Y=aX+b$（$a\ne0$），则 $$Y\sim N(a\mu+b,\ a^2\sigma^2)$$ 特别地，取 $a=\frac1\sigma$、$b=-\frac{\mu}{\sigma}$： $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$
$N(0,1)$ 称为标准正态分布，其密度与分布函数记为 $$\phi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\qquad \Phi_0(x)=\int_{-\infty}^{x}\phi_0(u)\,\mathrm{d}u$$
$\Phi_0$ 没有初等函数表达式，只能查表或数值计算。有了标准化，所有正态分布共用一张 $\Phi_0$ 表：任何 $N(\mu,\sigma^2)$ 的概率，都先化成 $Z$ 再查。
查表要用的三条性质
- 一般正态的密度：$\phi(x)=\dfrac{1}{\sigma}\phi_0\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
- 一般正态的分布函数：$\Phi(x)=\Phi_0\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
- 对称性：$\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$
表上通常只印 $x\ge0$ 的值。要查 $\Phi_0(-2)$，就用 $\Phi_0(-2)=1-\Phi_0(2)$。
由于密度关于 0 对称，对 $x\ge0$，$-x$ 左侧与 $x$ 右侧的曲线下面积相等，因此 $\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$。
标准化例题
$X\sim N(5,4)$（即 $\mu=5$、$\sigma=2$），求 $P(1<X<8)$。
① 标准化 令 $Z=\dfrac{X-5}{2}\sim N(0,1)$： $$P(1<X<8)=P\!\left(\frac{1-5}{2}<Z<\frac{8-5}{2}\right)=P(-2<Z<1.5)$$
② 拆成分布函数之差 $$=\Phi_0(1.5)-\Phi_0(-2)$$
③ 用对称性处理负值再查表 $$=\Phi_0(1.5)-[1-\Phi_0(2)]=0.93319-(1-0.97725)=0.91044$$
$k\sigma$ 法则：偏离中心不超过 $k\sigma$ 的概率
$$p_k=P(|X-\mu|\le k\sigma)=P(|Z|\le k)$$ 对于任意 $\mu$ 与 $\sigma>0$，该概率仅由 $k$ 决定。
| $k$ | $p_k$ |
|---|---|
| 1 | 0.6827 |
| 2 | 0.9545 |
| 3 | 0.9973 |
| 5 | $1-6\times10^{-7}$ |
| 10 | $1-1.5\times10^{-23}$ |
$10\sigma$ 之外只有 $1.5\times10^{-23}$：每天观测一次，平均约 $1.8\times10^{20}$ 年才见到一次，而宇宙的年龄约 $1.4\times10^{10}$ 年。
回到开场：正态模型下的极端亏损概率
若日收益率服从正态分布，单日下跌超过 $10\sigma$ 的概率约为 $7.6\times10^{-24}$，即第 26 页双侧尾部概率的一半。按每年 252 个交易日估算，对应的平均发生间隔约为 $5\times10^{20}$ 年。
对相同的亏损阈值，实际收益率低于该值的概率若高于正态模型，就表示实际分布的左尾概率更大，也称左尾更厚。比较的是密度曲线左端相应区域的面积。
以上计算假定日收益率服从 $N(\mu,\sigma^2)$。如果实际收益率低于同一亏损阈值的概率更大，正态模型就会低估极端亏损的概率；使用前应比较实际数据与模型给出的尾部概率。
应用：风险价值 VaR
某股票日收益率 $R\sim N(0.0005,\ 0.02^2)$，持有 100 万元。问：未来一天，有 95% 的把握损失不超过多少？
等价于求临界值 $r$ 使 $P(R<r)=0.05$。
① 标准化 $P\!\left(Z<\dfrac{r-0.0005}{0.02}\right)=0.05$
② 查表 下 5% 分位点 $\dfrac{r-0.0005}{0.02}\approx-1.645$
③ 解出 $r\approx-0.0324$，即 $-3.24\%$
$$\text{VaR}=100\text{ 万}\times3.24\%=32\,400\ \text{元}$$
读法：「平均每 20 个交易日，会有 1 天亏得比 32 400 元多」。注意它没有回答「那一天会亏多少」，开场故事里的亏损就落在这 5% 的尾部里。
交互：正态分布与风险价值
拖 $\mu$、$\sigma$ 与置信水平，看红色尾部面积与 VaR 数字同步变化。
- 把置信水平从 95% 拖到 99%：VaR 变大，但剩下 1% 的尾部里损失有多大，VaR 不提供信息
- 把 $\sigma$ 加倍：VaR 也约加倍（$\mu$ 很小时），风险与所需准备金近似成正比
交互演示：拖动参数与置信水平，观察尾部面积与 VaR
随机变量函数的分布
我们常常关心的不是 $X$ 本身，而是它的某个函数。例：$X$ 是汽车时速，我们想知道跑完一百公里的用时 $Y=100/X$。
关键一步：把关于 $Y$ 的事件改写成关于 $X$ 的事件，再用已知的 $F_X$。
注意 $Y=100/X$ 是减函数（$X>0$），所以不等号方向反转。这是本节最容易错的地方，每次都要先判断单调方向。
离散型：把落到同一点的概率加起来
离散型随机变量 $X$ 有概率函数 $f$，令 $Y=r(X)$，则 $Y$ 的概率函数为 $$g(y)=P[r(X)=y]=\sum_{x:\,r(x)=y}f(x)$$
$X$ 在 $1$–$9$ 上均匀分布，$Y=|X-5|$。
$Y$ 取 $0,1,2,3,4$。$Y=0$ 只来自 $X=5$； $Y=k$（$k\ge1$）来自 $X=5\pm k$ 两个值： $$g(y)=\begin{cases}\tfrac19,& y=0\\[2pt]\tfrac29,& y=1,2,3,4\end{cases}$$
$X$ 等概率取 $-3,\dots,3$（七个值），$Y=X^2-X$。
逐个代：$X=0,1\to Y=0$；$X=-1,2\to Y=2$； $X=-2,3\to Y=6$；$X=-3\to Y=12$。 $$g(y):\ \tfrac27,\tfrac27,\tfrac27,\tfrac17\quad(y=0,2,6,12)$$
连续型：先求 $G$，再求导
连续型随机变量 $X$ 有密度 $f$，令 $Y=r(X)$，则 $$G(y)=P[r(X)\le y]=\int_{x:\,r(x)\le y}f(x)\,\mathrm{d}x$$ 若 $Y$ 也是连续型，其密度为 $g(y)=\dfrac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y}$。
$Z$ 是队列的服务速率（$Z>0$），有连续分布函数 $F$。平均等候时间 $Y=1/Z$，求 $G$。
$$G(y)=P(Y\le y)=P\!\left(\frac1Z\le y\right)=P\!\left(Z\ge\frac1y\right) =P\!\left(Z>\frac1y\right)=1-F\!\left(\frac1y\right)$$
倒数第二步用到 $P(Z=1/y)=0$——连续型才能这样把 $\ge$ 换成 $>$。
「先求分布函数、再求导」是连续型最通用的做法。直接把 $f$ 里的 $x$ 换成 $r^{-1}(y)$ 会漏掉一个因子（见下一页）。
连续型函数分布的两个例子
$X\sim U[-1,1]$，密度 $f(x)=\frac12$。求 $Y=X^2$ 的密度。
对 $0<y<1$： $$\begin{aligned}G(y)&=P(X^2\le y)\\ &=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y)\\ &=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\tfrac12\,\mathrm{d}x=\sqrt y\end{aligned}$$ 求导得 $g(y)=\dfrac{1}{2\sqrt y}$（$0<y<1$）。
所得 $g$ 在 $y\to0^+$ 时趋于无穷，但非负且积分为 1，仍是密度。密度不等于概率。
$X$ 有密度 $f$，$Y=aX+b$（$a\ne0$），则 $$g(y)=\frac{1}{|a|}f\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
证明思路
设 $a>0$：$G(y)=P(aX+b\le y)=F\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$，对 $y$ 求导得 $\frac1a f\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$。 $a<0$ 时不等号翻向，多出一个负号，合起来即 $|a|$。那个 $\frac{1}{|a|}$ 称为雅可比因子：取值范围拉伸为 $|a|$ 倍，密度相应缩小为 $\frac{1}{|a|}$，总面积仍为 1。
将此公式用于正态分布，可得到第 23 页的线性变换结论： $Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$。
本讲总结
- 密度不是概率：$f$ 可大于 1、可趋于无穷；概率是 $\int_a^b f$
- $F$ 与 $f$ 互为积分与导数；连续型 $P(X=x)=0$，端点开闭不影响概率
- 三个分布：均匀（只知道取值范围时使用）、指数（无记忆、泊松过程的等待时间）、正态（$k\sigma$ 与标准化）
- 随机变量函数：离散型求和，连续型先求 $G$ 再求导
本讲总结（续）
- 密度 $\ne$ 概率。$f(x)$ 可以大于 1，$f(x)=0.3$ 不表示概率是 0.3
- 查表前必须标准化，且负值要用 $\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$
- 求 $Y=r(X)$ 的分布时，不能直接对密度做代换，会漏掉雅可比因子 $\frac{1}{|a|}$
- $r$ 不单调时要分段讨论并把各段概率相加（如 $Y=X^2$）
到现在为止，我们一次只研究一个随机变量。但现实中重要的往往是几个量之间的关系：两只股票的收益会不会一起跌？身高与体重怎么联动？
开场那个故事还有另一层：LTCM 的模型并非不知道单个资产的分布，而是低估了它们「一起动」的程度。
下一讲：多维随机变量及其分布。