连续型随机变量与概率密度函数
第 5 讲 · 概率论与数理统计
复旦大学经济学院 ECON130001
上一讲我们做了什么
$X:\Omega\to\mathbb{R}$ 是一个函数；离散型用概率函数 $f(x)=P(X=x)$ 描述， 四个基本分布：伯努利 → 几何 → 二项 → 泊松。
分布函数 $F(x)=P(X\le x)$，离散型是阶梯，且 $P(X=x)=F(x)-F(x^-)$ 就是该点的跳跃高度。
上一讲最后那个例子 $F(x)=\frac{x-4}{6}$ 是一条光滑上升的曲线，没有台阶 ——于是 $P(X=x)=0$，概率函数彻底失效。
但曲线的斜率还在：斜率大的地方概率就密集。这个「斜率」该怎么用？
为什么需要这一讲
模型的数学没有错，参数也是老老实实用历史数据估的。 错的是一个看不见的前提：收益率服从正态分布。
来源与说明
LTCM 于 1998 年 8–9 月间发生巨额亏损、并由纽约联储组织救助，为金融史公认事实； 合伙人包括 1997 年诺贝尔经济学奖得主 Robert Merton 与 Myron Scholes。 本页引用的具体日损金额与「模型预测频率」为教学化表述， 用于说明正态尾部假设的脆弱性，不作为精确史料。 本讲末尾会用本讲公式给出可自行验算的量级对照。本讲学习目标
- 会用概率密度函数描述连续型随机变量，并与分布函数互相转换
- 掌握三个连续分布：均匀、指数、正态，尤其是正态的标准化
- 会求随机变量函数的分布——离散型用求和，连续型用「先求 $F$ 再求导」
从「计数」到「测量」
在 $[4,10]$ 上任意抛一个质点，$X$ 为它与原点的距离，落在任一子区间的概率与区间长度成正比。 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<4\\[2pt]\dfrac{x-4}{6},& 4\le x<10\\[4pt]1,& x\ge10\end{cases}$$
- 股票的日收益率
- 下一季度的 GDP 增长率
- 自动驾驶汽车与前车的距离
对连续变量，任何单点的概率都是 0： $P(\text{收益率}=1\%)=0$。
所以概率函数 $f(x)=P(X=x)$ 恒为 0，没有任何信息。 需要一个全新的工具。
概率密度函数
对连续型随机变量 $X$，若其分布函数可以写成 $$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t$$ 则称 $f$ 为 $X$ 的概率密度函数，记作 $X\sim f(x)$。
$f(x)$ 本身不是 $X$ 取 $x$ 的概率——它甚至可以大于 1。 有意义的是它在一段区间上的积分。
类比：密度 $\mathrm{kg/m^3}$ 不是质量，乘上体积才是质量。 概率是「密度 × 长度」，摊在区间上而不是堆在点上。
回到上一讲的问题：$F$ 的斜率就是 $f$。 斜率大的地方，同样宽的区间里装的概率就多。
密度函数的四条性质
- $f(x)\ge0$ ← 非负性
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1$ ← 归一化
- $\displaystyle P(x_1<X\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,\mathrm{d}t$
- 在 $f$ 的所有连续点上，$F'(x)=f(x)$
证明思路
第三条：由 $F(x_2)-F(x_1)=\int_{-\infty}^{x_2}f-\int_{-\infty}^{x_1}f$ 与上一讲的 $P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$ 得到。第四条是微积分基本定理。完整证明见教师笔记。因为 $P(X=x)=0$，区间端点开闭无关紧要： $P(a<X<b)=P(a\le X\le b)=\int_a^b f$。 离散型里完全不成立——那里少算一个端点就少一块概率。
连续分布之一：均匀分布
若 $\xi$ 的密度为 $\varphi(x)=\lambda$（$a\le x\le b$），其余为 0， 则称 $\xi$ 服从 $[a,b]$ 上的均匀分布。求 $F(x)$。
由归一化 $\lambda(b-a)=1$，得 $\lambda=\dfrac{1}{b-a}$。积分得 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<a\\[2pt]\dfrac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\[4pt]1,& x\ge b\end{cases}$$
这正是上一讲那道 $[4,10]$ 质点题的一般形式。
注意 $\lambda=\frac{1}{b-a}$：区间越短，密度越高。 $[0,0.1]$ 上的均匀分布密度是 $10$——密度大于 1 完全正常。
均匀分布：神经网络参数初始化
当我们对一个量一无所知，只能确定它的范围时， 均匀分布是「最公平」的假设——不偏袒任何取值。
- 训练深度模型前，成千上万个参数都要赋初值。太大太小都会让模型学不动
- 最常见的做法：在一个精心算出的对称区间 $[-a,a]$ 内均匀抽样 $$W\sim U[-a,a]$$
- 这就是 Xavier 初始化等方法的核心思想
可以说，均匀分布是许多复杂 AI 模型训练的起点。 区间宽度 $a$ 怎么定？要用到方差——第 7 讲。
用归一化定常数（连续版）
$\varphi(x)=kx+1$（$0\le x\le2$），其余为 0。求 $k$、$F(x)$ 及 $P(1.5<\xi<2.5)$。
归一化：$\int_0^2(kx+1)\mathrm{d}x=2k+2=1\Rightarrow k=-\tfrac12$。 $$F(x)=-\tfrac14x^2+x,\quad 0\le x\le2$$ $$P(1.5<\xi<2.5)=F(2)-F(1.5)=1-0.9375=0.0625$$
注意：$\xi$ 最大只到 2，所以 $F(2.5)=F(2)=1$。 积分上限要落在支撑集内。
$f(x)=cxe^{-x^2/2}$（$x>0$），其余为 0。求 $c$。
换元 $u=x^2/2$： $$\int_0^{\infty}cxe^{-x^2/2}\mathrm{d}x=c\int_0^{\infty}e^{-u}\mathrm{d}u=c=1$$ 故 $c=1$。
这个分布叫瑞利分布， 是二维正态的模长——第 6 讲会见到。
反过来：由分布函数求密度
$F(x)=e^{x-3}$（$x\le3$），$F(x)=1$（$x>3$）。求密度函数。
对 $F$ 求导： $$f(x)=\begin{cases}e^{x-3},& x\le3\\ 0,& x>3\end{cases}$$ 「先求 $F$ 再求导」是连续型的标准动作，本讲后半还会用到。
$F(x)=0$（$x<0$）、$a+b\cos x$（$0\le x<\pi/4$）、$1$（$x\ge\pi/4$）。求 $a+b$。
连续型的分布函数是连续函数（没有跳跃），所以在 $x=0$ 处 $$\lim_{x\to0^-}F(x)=0=a+b\cos0=a+b$$ 故 $a+b=0$。
这道题考的不是计算，是「连续型 $\Rightarrow$ $F$ 连续」这条性质。
一道综合题
$\varphi(x)=A\cos x$（$|x|\le\pi/2$），其余为 0。 求 (1) $A$；(2) 分布函数；(3) $P(0<\xi<\pi/4)$。
(1) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}A\cos x\,\mathrm{d}x=2A=1\Rightarrow A=\tfrac12$。
(2) 对 $|x|\le\pi/2$： $\displaystyle F(x)=\int_{-\pi/2}^{x}\tfrac12\cos t\,\mathrm{d}t=\frac{1+\sin x}{2}$，于是 $$F(x)=\begin{cases}0,& x<-\tfrac{\pi}{2}\\[2pt]\dfrac{1+\sin x}{2},& |x|\le\tfrac{\pi}{2}\\[4pt]1,& x>\tfrac{\pi}{2}\end{cases}$$
(3) $F(\tfrac{\pi}{4})-F(0)=\dfrac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt2}{4}\approx0.354$。
核查一下 $F$：$F(-\pi/2)=0$、$F(\pi/2)=1$、处处不减且连续。凡是求出 $F$，都该这样验一遍。
一个既不离散也不连续的例子
$X$ 服从 $[0,5]$ 上的均匀分布，定义 $$Y=\begin{cases}0,& X\le1\\ 5,& X\ge3\\ X,&\text{其他}\end{cases}$$ 画出 $Y$ 的分布函数。
$P(Y=0)=P(X\le1)=\tfrac15$，$P(Y=5)=P(X\ge3)=\tfrac25$—— 这两点上有跳跃；而在 $(1,3)$ 上 $Y=X$，$F$ 连续上升。
所以 $F_Y$ 是「两级台阶 + 中间一段斜坡」。
它既不离散也不连续。分布函数的价值就在这里——它对任何随机变量都有定义。
小结：连续型的三件事
- 密度不是概率，$f(x)$ 可以大于 1；概率是它在区间上的积分
- $F$ 与 $f$ 互为积分/求导：$F(x)=\int_{-\infty}^x f$，$f=F'$
- $P(X=x)=0$，于是区间端点开闭无所谓——但这只对连续型成立
接下来三个具体分布：均匀（已讲）、指数、正态。
连续分布之二：指数分布
$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，若 $$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,&\text{其他}\end{cases}$$
- $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x>0$）
- $P(a<X<b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$
特别地，$P(X>t)=e^{-\lambda t}$——「活过 $t$」的概率，本讲后面反复要用。
$\lambda$ 叫速率：$\lambda$ 越大，密度衰减越快，事件来得越急。 它就是上一讲泊松分布里那个 $\lambda$——下面会证明这不是巧合。
指数分布的无后效性
电子元件寿命服从参数 $\lambda$ 的指数分布。求 (1) 寿命大于 $t$ 的概率；(2) 已工作了 $s$ 小时后，再活过 $t$ 小时的概率。
(1) $\displaystyle P(X>t)=\int_t^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=e^{-\lambda t}$
(2) 用条件概率： $$P(X>t+s\mid X>s)=\frac{P(X>t+s)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)$$
已经用了 $s$ 小时这件事，对元件的剩余寿命毫无影响——它「不会变老」。
这是上一讲几何分布无记忆性的连续版本。 而且可以证明：指数分布是唯一具有这个性质的连续分布。
指数分布例题：$n$ 个灯泡
$n$ 个灯泡同时点亮，寿命相互独立且都服从参数 $\lambda$ 的指数分布。求 (1) 到第一个灯泡失效的时间 $Y_1$ 的分布； (2) 从第一个失效到第二个失效的时间 $Y_2$ 的分布。
$Y_1>t$ 意味着所有 $n$ 个都还没坏。由独立性 $$P(Y_1>t)=\prod_{i=1}^{n}P(X_i>t)=\left(e^{-\lambda t}\right)^n=e^{-n\lambda t}$$ 所以 $Y_1$ 服从参数 $n\lambda$ 的指数分布——$n$ 个一起等，来得快 $n$ 倍。
第一个坏掉后还剩 $n-1$ 个，而由无记忆性， 这 $n-1$ 个「和新的一样」。于是同理，$Y_2$ 服从参数 $(n-1)\lambda$ 的指数分布。
没有无记忆性，第 (2) 问根本没法这么简单地做。
泊松与指数：同一过程的两个侧面
两者描述的是同一个随机过程（泊松过程）的两个问法：
- 泊松分布（离散）：在固定时间内，会发生多少次？
- 指数分布（连续）：等到下一次发生，需要多长时间？
例：公交车到站平均每小时 $\lambda$ 辆。「一小时来几辆」服从泊松，「我要等多久」服从指数。
设速率为 $\lambda$，$T$ 是到下一次事件的等待时间。关键的一步翻译： $$\{T>t\}\iff\{\text{在长度 }t\text{ 的区间内事件发生了 }\mathbf{0}\text{ 次}\}$$ 由泊松分布 $P(\text{时长 }t\text{ 内发生 }k\text{ 次})=\dfrac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}$，取 $k=0$： $$P(T>t)=e^{-\lambda t}\ \Longrightarrow\ F(t)=1-e^{-\lambda t}$$ 正是参数 $\lambda$ 的指数分布。
指数分布：失业持续期与服务器排队
- 若失业者找到工作的「瞬时概率」是常数 $\lambda$，则所需时间 $T$ 服从指数分布
- 无记忆性的含义： $P(T>t+s\mid T>t)=P(T>s)$—— 已失业很久的人，未来找到工作的概率和刚失业的人一样
- 用户请求到达服务器的间隔时间常被建模为指数分布
- 这是排队论的基础，用于服务器动态扩容与云端任务调度
- 与上一讲呼应：请求数服从泊松，请求间隔服从指数
无记忆性意味着失业时长不影响再就业难度。现实中往往相反： 技能折旧、雇主对长期失业者的筛选，都会让 $\lambda$ 随时间下降。 模型给出的是一个基准，偏离基准的地方才是研究对象。
连续分布之三：正态分布
- 若总体服从正态分布，其随机抽样的特征有简单的表达式——第 9 讲整章都依赖这一条
- 大量实际观测（测量误差、生物性状等）确实近似服从正态分布
- 中心极限定理：即使原变量不服从正态，样本的某些函数也会趋近正态——第 8 讲
第 3 条是它真正的统治力来源：正态分布不是因为世界本来正态， 而是因为「大量微小独立因素之和」必然趋近正态。
但请记住开场那个故事——「近似」和「精确」之间的差距，全在尾巴上。
正态分布的定义
$X$ 服从参数为 $\mu,\sigma^2$ 的正态分布，若密度函数为 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\left[-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]$$ 记作 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$。
怎么证明它的积分是 1
记 $I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}\mathrm{d}t$，考虑 $I^2$ 化为二重积分后换成极坐标： $$I^2=\iint e^{-(u^2+v^2)/2}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v =\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\infty}e^{-r^2/2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=2\pi$$ 故 $I=\sqrt{2\pi}$，归一化成立。这是经典的Poisson 积分技巧 ——一维算不出来，升到二维反而能算。完整推导见教师笔记。指数里是 $-\frac12\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2$： $\mu$ 决定中心位置，$\sigma$ 决定胖瘦。 前面的 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ 只是为了让总面积等于 1。
正态分布的形状
- 关于 $x=\mu$ 对称
- 在 $x=\mu$ 处取最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
- 在 $x=\mu\pm\sigma$ 处有拐点——$\sigma$ 是可以「看见」的
- 两侧以 $e^{-x^2/2}$ 的速度趋于 0，衰减极快
最后一条就是开场故事的伏笔： $e^{-x^2/2}$ 的衰减比任何指数都快， 所以正态分布认为极端事件「几乎不可能」。 真实收益率的尾巴要厚得多。
标准化：把所有正态分布变成一个
若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且 $Y=aX+b$（$a\ne0$），则 $$Y\sim N(a\mu+b,\ a^2\sigma^2)$$ 特别地，取 $a=\frac1\sigma$、$b=-\frac{\mu}{\sigma}$： $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$
$N(0,1)$ 称为标准正态分布，其密度与分布函数记为 $$\phi_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},\qquad \Phi_0(x)=\int_{-\infty}^{x}\phi_0(u)\,\mathrm{d}u$$
$\Phi_0$ 没有初等函数表达式，只能查表或数值计算。 但有了标准化，全世界只需要一张表——任何 $N(\mu,\sigma^2)$ 的问题 都先化成 $Z$ 再查。
查表要用的三条性质
- 一般正态的密度：$\phi(x)=\dfrac{1}{\sigma}\phi_0\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
- 一般正态的分布函数：$\Phi(x)=\Phi_0\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
- 对称性：$\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$
表上通常只印 $x\ge0$ 的值。要查 $\Phi_0(-2)$， 就用 $\Phi_0(-2)=1-\Phi_0(2)$。
它来自密度关于 0 对称这个几何事实——不用背，画个图就出来了。
标准化例题
$X\sim N(5,4)$（即 $\mu=5$、$\sigma=2$），求 $P(1<X<8)$。
① 标准化 令 $Z=\dfrac{X-5}{2}\sim N(0,1)$： $$P(1<X<8)=P\!\left(\frac{1-5}{2}<Z<\frac{8-5}{2}\right)=P(-2<Z<1.5)$$
② 拆成分布函数之差 $$=\Phi_0(1.5)-\Phi_0(-2)$$
③ 用对称性处理负值再查表 $$=\Phi_0(1.5)-[1-\Phi_0(2)]=0.93319-(1-0.97725)=0.91044$$
$k\sigma$ 法则：与 $\mu,\sigma$ 无关的那些数
$$p_k=P(|X-\mu|\le k\sigma)=P(|Z|\le k)$$ 右边只与 $k$ 有关，和 $\mu,\sigma$ 无关。
| $k$ | $p_k$ |
|---|---|
| 1 | 0.6826 |
| 2 | 0.9544 |
| 3 | 0.9974 |
| 4 | 0.99994 |
| 5 | $1-6\times10^{-7}$ |
| 10 | $1-2\times10^{-23}$ |
$10\sigma$ 之外只有 $2\times10^{-23}$。每天观测一次，平均要等 $10^{20}$ 年 ——比宇宙年龄还长十亿倍。
回到开场：尾巴有多薄
若日收益率真的服从正态分布，那么一个 $10\sigma$ 的单日损失， 平均要 $\dfrac{1}{2\times10^{-23}}\approx5\times10^{22}$ 个交易日才出现一次 ——约合 $2\times10^{20}$ 年。
1987 年 10 月 19 日、1998 年 8–9 月、2008 年秋、2020 年 3 月…… 「几十亿年一次」和「十年一次」的差距，不在计算，在假设。
正态分布的尾部按 $e^{-x^2/2}$ 衰减，快得不像话。 真实收益率的尾部是幂律式的，厚得多。
这不是说正态分布没用——它是最好的第一近似， 也是第 8–12 讲全部推断工具的基础。 但用它做极端风险的判断时，必须知道自己在假设什么。
应用：风险价值 VaR
某股票日收益率 $R\sim N(0.0005,\ 0.02^2)$，持有 100 万元。 问：未来一天，有 95% 的把握损失不超过多少？
等价于求临界值 $r$ 使 $P(R<r)=0.05$。
① 标准化 $P\!\left(Z<\dfrac{r-0.0005}{0.02}\right)=0.05$
② 查表 下 5% 分位点 $\dfrac{r-0.0005}{0.02}\approx-1.645$
③ 解出 $r\approx-0.0324$，即 $-3.24\%$
$$\text{VaR}=100\text{ 万}\times3.24\%=32\,400\ \text{元}$$
读法：「平均每 20 个交易日，会有 1 天亏得比 32 400 元多」。 注意它没有回答「那一天会亏多少」——而那正是开场故事里出事的地方。
交互：正态分布与风险价值
拖 $\mu$、$\sigma$ 与置信水平，看红色尾部面积与 VaR 数字同步变化。
- 把置信水平从 95% 拖到 99%：VaR 变大，但尾巴里剩下的 1% 依然可以任意糟
- 拖 $\mu$ 和 $\sigma$：下方三个 $k\sigma$ 概率纹丝不动——标准化的意义
交互演示：拖动参数与置信水平，观察尾部面积与 VaR
应用：正态分布是模型可解释性的根基
核心假设：无法解释的误差项 $\epsilon\sim N(0,\sigma^2)$。
基于正态假设，才能对系数 $\beta_1$ 做 $t$ 检验， 判断「面积」是否真有统计意义上的影响。第 12 讲
也正是基于它，才能为预测的房价给出一个置信区间， 而不只是一个孤零零的数。第 11 讲
没有这个假设，模型只能给出一个点预测，无法回答「这个预测有多可信」。 正态分布是连接机器学习与统计推断的桥梁——它把「预测」变成了「可以被质疑和检验的预测」。
随机变量函数的分布
我们常常关心的不是 $X$ 本身，而是它的某个函数。 例：$X$ 是汽车时速，我们想知道跑完一百公里的用时 $Y=100/X$。
核心动作：把关于 $Y$ 的事件翻译成关于 $X$ 的事件， 再用已知的 $F_X$。
注意 $Y=100/X$ 是减函数，所以不等号翻了向。 这是本节最容易错的地方——每次都要先判断单调方向。
离散型：把落到同一点的概率加起来
离散型随机变量 $X$ 有概率函数 $f$，令 $Y=r(X)$，则 $Y$ 的概率函数为 $$g(y)=P[r(X)=y]=\sum_{x:\,r(x)=y}f(x)$$
$X$ 在 $1$–$9$ 上均匀分布，$Y=|X-5|$。
$Y$ 取 $0,1,2,3,4$。$Y=0$ 只来自 $X=5$； $Y=k$（$k\ge1$）来自 $X=5\pm k$ 两个值： $$g(y)=\begin{cases}\tfrac19,& y=0\\[2pt]\tfrac29,& y=1,2,3,4\end{cases}$$
$X$ 等概率取 $-3,\dots,3$（七个值），$Y=X^2-X$。
逐个代：$X=0,1\to Y=0$；$X=-1,2\to Y=2$； $X=-2,3\to Y=6$；$X=-3\to Y=12$。 $$g(y):\ \tfrac27,\tfrac27,\tfrac27,\tfrac17\quad(y=0,2,6,12)$$
连续型：先求 $G$，再求导
连续型随机变量 $X$ 有密度 $f$，令 $Y=r(X)$，则 $$G(y)=P[r(X)\le y]=\int_{x:\,r(x)\le y}f(x)\,\mathrm{d}x$$ 若 $Y$ 也是连续型，其密度为 $g(y)=\dfrac{\mathrm{d}G(y)}{\mathrm{d}y}$。
$Z$ 是队列的服务速率，有连续分布函数 $F$。平均等候时间 $Y=1/Z$，求 $G$。
$$G(y)=P(Y\le y)=P\!\left(\frac1Z\le y\right)=P\!\left(Z\ge\frac1y\right) =P\!\left(Z>\frac1y\right)=1-F\!\left(\frac1y\right)$$
倒数第二步用到 $P(Z=1/y)=0$——连续型才能这样把 $\ge$ 换成 $>$。
「先求分布函数、再求导」是连续型的唯一通法。 直接对密度做代换是错的——密度不是概率，不能像换元那样搬。
连续型函数分布的两个例子
$X\sim U[-1,1]$，密度 $f(x)=\frac12$。求 $Y=X^2$ 的密度。
对 $0<y<1$： $$G(y)=P(X^2\le y)=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\tfrac12\,\mathrm{d}x=\sqrt y$$ 求导： $$g(y)=\frac{1}{2\sqrt y},\quad 0<y<1$$
注意 $g$ 在 $y\to0^+$ 时趋于无穷， 但它仍是合法密度（积分为 1）——再次说明密度不是概率。
$X$ 有密度 $f$，$Y=aX+b$（$a\ne0$），则 $$g(y)=\frac{1}{|a|}f\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
证明思路
设 $a>0$：$G(y)=P(aX+b\le y)=F\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$， 对 $y$ 求导得 $\frac1a f\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$。 $a<0$ 时不等号翻向，多出一个负号，合起来即 $|a|$。完整证明见教师笔记。那个 $\frac{1}{|a|}$ 就是雅可比因子： 变量被拉伸 $a$ 倍，密度必须压扁 $a$ 倍，总面积才守恒。
把它用在正态分布上，正好给出前面那条 $Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$。
本讲总结
正态分布的尾部按 $e^{-x^2/2}$ 衰减，快到 $10\sigma$ 之外的概率只有 $2\times10^{-23}$ ——按这个模型，那种损失「$10^{20}$ 年才出现一次」。
可它在几十年里出现了好几次。数学没有错，参数也没估错， 错的是「收益率服从正态分布」这个看不见的前提。 与第 3 讲那个结构化产品的教训完全一样：出事的从来不是公式，是公式的假设。
- 密度不是概率：$f$ 可大于 1、可趋于无穷；概率是 $\int_a^b f$
- $F$ 与 $f$ 互为积分与导数；连续型 $P(X=x)=0$，端点开闭无所谓
- 三个分布：均匀（无知时最公平）、指数（无记忆、泊松过程的等待时间）、正态（$k\sigma$ 与标准化）
- 随机变量函数：离散型求和，连续型先求 $G$ 再求导
本讲总结（续）
- 密度 $\ne$ 概率。$f(x)$ 可以大于 1，$f(x)=0.3$ 不表示概率是 0.3
- 查表前必须标准化，且负值要用 $\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$
- 求 $Y=r(X)$ 的分布时，不能直接对密度做代换，会漏掉雅可比因子 $\frac{1}{|a|}$
- $r$ 不单调时要分段讨论并把各段概率相加（如 $Y=X^2$）
到现在为止，我们一次只研究一个随机变量。 可现实里要紧的往往是几个量之间的关系： 两只股票的收益会不会一起跌？身高与体重怎么联动？
而这正是开场那个故事真正的病根—— LTCM 的模型不是不知道单个资产的分布，是低估了它们「一起动」的程度。
下一讲：多维随机变量及其分布。